奇妙的分形几何：噪音也可形成美丽图案(组图)

wen6701

Fractal（分形）一词的由来
　　据曼德勃罗教授自己说，fractal一词是1975年夏天的一个寂静夜晚，他在冥思苦想之余偶翻他儿子的拉丁文字典时，突然想到的。此词源于拉丁文形容词fractus，对应的拉丁文动词是frangere（“破碎”、“产生无规碎片”）。此外与英文的 fraction（“碎片”、“分数”）及fragment（“碎片”）具有相同的词根。在70年代中期以前，曼德勃罗一直使用英文fractional 一词来表示他的分形思想。因此，取拉丁词之头，撷英文之尾的fractal，本意是不规则的、破碎的、分数的。曼德勃罗是想用此词来描述自然界中传统欧几里德几何学所不能描述的一大类复杂无规的几何对象。例如，弯弯曲曲的海岸线、起伏不平的山脉，粗糙不堪的断面，变幻无常的浮云，九曲回肠的河流，纵横交错的血管，令人眼花僚乱的满天繁星等。它们的特点是，极不规则或极不光滑。直观而粗略地说，这些对象都是分形。

wen6701

　　曼德勃罗曾经为分形下过两个定义：
　　（1）满足下式条件
　　Dim(A)>dim(A)
　　的集合A，称为分形集。其中，Dim(A)为集合A的Hausdoff维数（或分维数），dim(A)为其拓扑维数。一般说来，Dim(A)不是整数，而是分数。
　　（2）部分与整体以某种形式相似的形，称为分形。
　　然而，经过理论和应用的检验，人们发现这两个定义很难包括分形如此丰富的内容。实际上，对于什么是分形，到目前为止还不能给出一个确切的定义，正如生物学中对“生命”也没有严格明确的定义一样，人们通常是列出生命体的一系列特性来加以说明。对分形的定义也可同样的处理。
　　分形一般有以下特质：
　　在任意小的尺度上都能有精细的结构； 太不规则，以至难以用传统欧氏几何的语言描述； （至少是大略或任意地）自相似 豪斯多夫维数会大於拓扑维数（但在空间填充曲线如希尔伯特曲线中为例外）； 有著简单的递归定义。
　　（i）分形集都具有任意小尺度下的比例细节，或者说它具有精细的结构。
　　（ii）分形集不能用传统的几何语言来描述，它既不是满足某些条件的点的轨迹，也不是某些简单方程的解集。
　　（iii）分形集具有某种自相似形式，可能是近似的自相似或者统计的自相似。
　　（iv）一般，分形集的“分形维数”，严格大于它相应的拓扑维数。
　　（v）在大多数令人感兴趣的情形下，分形集由非常简单的方法定义，可能以变换的迭代产生。

wen6701

　　在传统的几何学中，人们研究一个几何对象，总是习惯于在Euclid空间(Rn,Euclidean)对其研究和度量，其中字母n表示空间的维数，通常为整数，如n分别为1、2、3时，对应的空间为线性空间、平面空间、立体空间，在相应的空间中，我们可以测得几何对象的长度、面积、体积等。但是大约在 1个世纪前，在数学领域，相继出现了一些被称为数学怪物(mathematical monsters)的东西，在传统的Euclid领域，人们无法用几何语言去表述其整体或局部性质，其中，比较著名Von Koch曲线
数学怪物包括：
　　Von Koch曲线 此曲线在一维下测量任意段长度为无穷大（想象中，考虑到能测量原子的维度）；在二维下测量面积为零
　　Sierpinski三角形 此图形面积为零
　　Cantor集
　　这些数学怪物困扰数学家许多年，直至20世纪，被美国数学家Benoit B. Mandelbrot创立的分形几何学(fractal geometry)彻底解决。Mandelbrot提出：我们之所以无法用几何语言去描述这些数学怪物，是因为我们是在维数为整数的空间中，用维数同样是整数的“尺子”对其丈量、描述；而维数不应该仅仅是整数，可以是任何一个正实数；只有在几何对象对应的维数空间中，才能对该几何体进行合理的整体或局部描述。 以上图的Koch曲线为例，其维数约为1.26，我们应用同样为1.26维的尺子对其进行描述，比如取该曲线前1/4段作为单位为1的尺子去丈量这个几何体，此几何体长度为4。也正是因其维数介于1维与2维之间，所以此几何体在1维下长度为无穷大，2维下面积为零。
　　Fractal这个词是由Mandelbrot于1975创造的，来源于拉丁文 “Fractus”，其英文意思是broken，即为“不规则、支离破碎”的物体。1967年，Mandelbrot在美国《Science》杂志上发表题目为《英国的海岸线有多长》的划时代论文，标志着其分形思想萌芽的出现。1977年，Mandelbrot在巴黎出版的法文著作《Les objets fractals:forme,hasard et dimension》,1977年，在美国出版其英文版《Fractals:From,Chance,and Dimension》（《分形：形状机遇和维数》）,同年，他又出版了《The Fractal Geometry of Nature》(《大自然的分形几何》)，但是这三本书还未对社会和学术界造成太大的影响。直到1982年，《The Fractal Geometry of Nature》(《大自然的分形几何》)第二版才得到欧美社会的广泛关注，并迅速形成了“分形热”，此书也被分形学界视为分形“圣经”。
　　分形学发展史上的重要里程碑
　　1872年 Cantor集合被创造
　　1895年 Weierstrass曲线被创造，此曲线特点是“处处连续，点点不可微”
　　1906年 Koch曲线被创造
　　1914年 Sierpinski三角形被创造
　　1919年 描述复杂几何体的Hausdorff维问世
　　1951年 英国水文学家Hurst通过多年研究尼罗河，总结出Hurst定律
　　1967年 Mandelbrot在《Science》杂志上发表论文《英国的海岸线有多长》
　　1975年 Mandelbrot创造“Fractals”一词
　　1977年 Mandelbrot在巴黎出版的法文著作《Les objets fractals:forme,hasard et dimension》
　　1977年 Mandelbrot在美国出版英文著作《Fractals:From,Chance,and Dimension》以及《The Fractal Geometry of Nature》
　　1982年 《The Fractal Geometry of Nature》第二版，并引发“分形热”
　　1991年 英国的Pergman出版社创办《Chaos，Soliton and Fractal》杂志
　　1993年 新加坡世界科学出版社创办《Fractal》杂志
　　1998年 在马耳他(Malta)的瓦莱塔(Valletta)召开了“分形98年会议”(5th International Multidisciplinary Conference)
　　1999年， 邓宇等推出《中医分形集》
　　2003年 在德国的Friedrichroda召开了“第三届分形几何和推测学国际会议”
　　2004年 在加拿大(Canada)的温哥华(Vancouver)召开了“分形2004年会议”(8th International Multidisciplinary Conference)

wen6701

　　科学与艺术的完美结合——分形艺术
　　分形诞生在以多种概念和方法相互冲击和融合为特征的当代。分形混沌之旋风，横扫数学、理化、生物、大气、海洋以至社会学科，在音乐、美术间也产生了一定的影响。
　　分形所呈现的无穷玄机和美感引发人们去探索。即使您不懂得其中深奥的数学哲理，也会为之感动。
　　分形使人们觉悟到科学与艺术的融合，数学与艺术审美上的统一，使昨日枯燥的数学不再仅仅是抽象的哲理，而是具体的感受；不再仅仅是揭示一类存在，而是一种艺术创作，分形搭起了科学与艺术的桥梁。
　　“分形艺术”与普通“电脑绘画”不同。普通的“电脑绘画”概念是用电脑为工具从事美术创作，创作者要有很深的美术功底。而“分形艺术”是纯数学产物，创作者要有很深的数学功底，此外还要有熟练的编程技能。
　　苑玉峰老师认为分形图像有如下用途：
　　1、制作成各种尺寸的装饰画（用卡纸装裱，可获得很好的装饰画效果）。
　　2、用作包装材料图案，效果新颖。
　　3、可以制作成各种尺寸的分形挂历、台历、贺卡等。
　　4、应用于印染行业。
　　5、装点科技馆、少年宫、旅游景点等。
　　刘华杰博士认为:
　　1、将高精度分形图形具体应用在建筑设计中，可以考虑将整面墙壁用一幅分形图装饰。
　　2、研究分形建筑陶瓷纹样、分形纺织纹样设计及其印染工艺。
　　3、设计分形时装。
　　4、将分形图形用于信息加密防伪。
　　5、印制分形贺卡、明信片和小台历。

qx0007

好帖啊，美丽的分形